অনুশীলনী ১.৪ — সম্পূৰ্ণ সমাধান
১। তলৰ সংখ্যাবোৰক পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় হিচাপে শ্ৰেণীভুক্ত কৰা।
(i) \(2-\sqrt{5}\)
\(\sqrt{5}\) এটা অপৰিমেয় সংখ্যা। পৰিমেয় সংখ্যা \(2\) ৰ পৰা
অপৰিমেয় সংখ্যা \(\sqrt{5}\) বিয়োগ কৰিলে অপৰিমেয় সংখ্যাই পোৱা যায়।
\[
2-\sqrt{5}=\text{অপৰিমেয়}
\]
উত্তৰ: অপৰিমেয় সংখ্যা।
(ii) \((3+\sqrt{23})-\sqrt{23}\)
\[
(3+\sqrt{23})-\sqrt{23}
\]
\[
=3+\sqrt{23}-\sqrt{23}
\]
\[
=3
\]
\(3\) এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
উত্তৰ: পৰিমেয় সংখ্যা।
(iii) \(\displaystyle\frac{2\sqrt7}{7\sqrt7}\)
\[
\frac{2\sqrt7}{7\sqrt7}
=\frac{2}{7}
\]
\(\frac{2}{7}\) এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
উত্তৰ: পৰিমেয় সংখ্যা।
(iv) \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\)
হৰক পৰিমেয় কৰিবলৈ ওপৰ আৰু তল দুয়োটাকে \(\sqrt2\)ৰে গুণ কৰোঁ।
\[
\frac{1}{\sqrt2}\times\frac{\sqrt2}{\sqrt2}
=\frac{\sqrt2}{2}
\]
\(\sqrt2\) অপৰিমেয়। গতিকে \(\frac{\sqrt2}{2}\)ও অপৰিমেয়।
উত্তৰ: অপৰিমেয় সংখ্যা।
(v) \(2\pi\)
\(\pi\) এটা অপৰিমেয় সংখ্যা। সেয়ে শূন্যৰ বাহিৰে পৰিমেয় সংখ্যা
\(2\) ৰ সৈতে \(\pi\)ৰ গুণফল \(2\pi\) এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
উত্তৰ: অপৰিমেয় সংখ্যা।
প্ৰশ্ন ১ৰ চমু উত্তৰ
| সংখ্যা | শ্ৰেণী |
|---|---|
| \(2-\sqrt5\) | অপৰিমেয় |
| \((3+\sqrt{23})-\sqrt{23}\) | পৰিমেয় |
| \(\frac{2\sqrt7}{7\sqrt7}\) | পৰিমেয় |
| \(\frac1{\sqrt2}\) | অপৰিমেয় |
| \(2\pi\) | অপৰিমেয় |
২। তলৰ প্ৰতিটো ৰাশি সৰল কৰা।
(i) \((3+\sqrt3)(2+\sqrt2)\)
\[
(3+\sqrt3)(2+\sqrt2)
\]
\[
=3(2)+3\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt3\sqrt2
\]
\[
=6+3\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt6
\]
উত্তৰ:
\[
\boxed{6+3\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt6}
\]
(ii) \((3+\sqrt3)(3-\sqrt3)\)
\[
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
\]
\[
(3+\sqrt3)(3-\sqrt3)
\]
\[
=3^2-(\sqrt3)^2
\]
\[
=9-3=6
\]
উত্তৰ: \(\boxed{6}\)
(iii) \((\sqrt5+\sqrt2)^2\)
\[
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
\]
\[
(\sqrt5+\sqrt2)^2
\]
\[
=(\sqrt5)^2+2(\sqrt5)(\sqrt2)+(\sqrt2)^2
\]
\[
=5+2\sqrt{10}+2
\]
\[
=7+2\sqrt{10}
\]
উত্তৰ: \(\boxed{7+2\sqrt{10}}\)
(iv) \((\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)\)
\[
(a-b)(a+b)=a^2-b^2
\]
\[
(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)
\]
\[
=(\sqrt5)^2-(\sqrt2)^2
\]
\[
=5-2=3
\]
উত্তৰ: \(\boxed{3}\)
(v) \((3\sqrt5-4\sqrt3)^2\)
\[
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\]
\[
(3\sqrt5-4\sqrt3)^2
\]
\[
=(3\sqrt5)^2-2(3\sqrt5)(4\sqrt3)+(4\sqrt3)^2
\]
\[
=45-24\sqrt{15}+48
\]
\[
=93-24\sqrt{15}
\]
উত্তৰ: \(\boxed{93-24\sqrt{15}}\)
(vi) \((\sqrt7-6)(\sqrt3-\sqrt7)\)
\[
(\sqrt7-6)(\sqrt3-\sqrt7)
\]
\[
=\sqrt{21}-7-6\sqrt3+6\sqrt7
\]
উত্তৰ:
\[
\boxed{\sqrt{21}-7-6\sqrt3+6\sqrt7}
\]
(vii) \((2+\sqrt6)(4+\sqrt6)\)
\[
(2+\sqrt6)(4+\sqrt6)
\]
\[
=8+2\sqrt6+4\sqrt6+6
\]
\[
=14+6\sqrt6
\]
উত্তৰ: \(\boxed{14+6\sqrt6}\)
৩। \(\pi\) অপৰিমেয় বুলি ক'লে বিৰোধিতা কেনেকৈ সমাধান কৰিব পাৰি?
মনত পেলোৱা যে \(\pi\)ৰ সংজ্ঞা হৈছে
\[
\pi=\frac{c}{d}
\]
য'ত \(c\) হৈছে বৃত্তৰ পৰিধি আৰু \(d\) হৈছে বৃত্তৰ ব্যাস।
দেখাত \(\pi=\frac{c}{d}\) হোৱা বাবে \(\pi\) পৰিমেয় যেন লাগে।
কিন্তু পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংজ্ঞা অনুসৰি কোনো সংখ্যা
\[
\frac{p}{q}
\]
ৰূপত লিখিব পাৰিব লাগিব, য'ত \(p,q\) দুয়োটা অখণ্ড সংখ্যা আৰু
\(q\neq0\)।
কিন্তু \(c\) আৰু \(d\) হৈছে বৃত্তৰ দৈৰ্ঘ্য; এইবোৰ অখণ্ড সংখ্যা
হ'বই লাগিব বুলি কোনো নিয়ম নাই।
সেয়ে \(\pi\) দুটা বাস্তৱ দৈৰ্ঘ্যৰ অনুপাত হ'লেও দুটা অখণ্ড
সংখ্যাৰ অনুপাত নহয়।
উত্তৰ: কোনো বিৰোধিতা নাই। \(\pi\) এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
৪। \(\sqrt{9.3}\) ক সংখ্যাৰেখাত উপস্থাপন কৰা।
নিৰ্মাণৰ ধাপসমূহ:
১। এটা সংখ্যাৰেখাত \(O\) বিন্দুৰ পৰা \(A\) লৈ \(9.3\) একক লওঁ।
২। \(A\)ৰ পৰা আৰু \(1\) একক লৈ \(B\) বিন্দু লওঁ। গতিকে
\[ OA=9.3,\qquad AB=1 \]৩। \(OB\)ৰ মধ্যবিন্দু \(M\) লৈ \(M\) কেন্দ্ৰ কৰি \(MO\) ব্যাসাৰ্ধে এটা অৰ্ধবৃত্ত আঁকোঁ।
৪। \(A\) বিন্দুত \(OB\)ৰ ওপৰত লম্ব আঁকিলে ই অৰ্ধবৃত্তক \(C\)ত ছেদ কৰিব।
\[ AC^2=OA\times AB \] \[ AC^2=9.3\times1=9.3 \] সেয়ে, \[ AC=\sqrt{9.3} \] এই \(AC\) দৈৰ্ঘ্যটো সংখ্যাৰেখাত \(O\)ৰ পৰা কাটি ল'লে \(\sqrt{9.3}\) পোৱা যাব। \[ \sqrt{9.3}\approx3.05 \]
উত্তৰ: সংখ্যাৰেখাত \(O\)ৰ পৰা প্ৰায় \(3.05\) একক দূৰত
\(\sqrt{9.3}\) অৱস্থিত।
৫। তলৰ ৰাশিৰ হৰ বিলাক পৰিমেয় কৰা।
(i) \(\displaystyle\frac1{\sqrt7}\)
\[
\frac1{\sqrt7}\times\frac{\sqrt7}{\sqrt7}
=\frac{\sqrt7}{7}
\]
উত্তৰ: \(\boxed{\frac{\sqrt7}{7}}\)
(ii) \(\displaystyle\frac1{\sqrt7-\sqrt6}\)
Conjugate হৈছে \(\sqrt7+\sqrt6\)।
\[
\frac1{\sqrt7-\sqrt6}
\times
\frac{\sqrt7+\sqrt6}{\sqrt7+\sqrt6}
\]
\[
=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{7-6}
\]
\[
=\sqrt7+\sqrt6
\]
উত্তৰ: \(\boxed{\sqrt7+\sqrt6}\)
(iii) \(\displaystyle\frac1{\sqrt5+\sqrt2}\)
\[
\frac1{\sqrt5+\sqrt2}
\times
\frac{\sqrt5-\sqrt2}{\sqrt5-\sqrt2}
\]
\[
=\frac{\sqrt5-\sqrt2}{5-2}
\]
\[
=\frac{\sqrt5-\sqrt2}{3}
\]
উত্তৰ: \(\boxed{\frac{\sqrt5-\sqrt2}{3}}\)
(iv) \(\displaystyle\frac1{\sqrt7-2}\)
\[
\frac1{\sqrt7-2}
\times
\frac{\sqrt7+2}{\sqrt7+2}
\]
\[
=\frac{\sqrt7+2}{7-4}
\]
\[
=\frac{\sqrt7+2}{3}
\]
উত্তৰ: \(\boxed{\frac{\sqrt7+2}{3}}\)
(v) \(\displaystyle\frac{13}{\sqrt5}\)
\[
\frac{13}{\sqrt5}
\times
\frac{\sqrt5}{\sqrt5}
\]
\[
=\frac{13\sqrt5}{5}
\]
উত্তৰ: \(\boxed{\frac{13\sqrt5}{5}}\)
(vi) \(\displaystyle\frac{6+\sqrt5}{6-\sqrt5}\)
\[
\frac{6+\sqrt5}{6-\sqrt5}
\times
\frac{6+\sqrt5}{6+\sqrt5}
\]
\[
=\frac{(6+\sqrt5)^2}{36-5}
\]
\[
=\frac{36+12\sqrt5+5}{31}
\]
\[
=\frac{41+12\sqrt5}{31}
\]
উত্তৰ: \(\boxed{\frac{41+12\sqrt5}{31}}\)
(vii) \(\displaystyle\frac{5+\sqrt3}{3+\sqrt6}\)
\[
\frac{5+\sqrt3}{3+\sqrt6}
\times
\frac{3-\sqrt6}{3-\sqrt6}
\]
\[
=\frac{(5+\sqrt3)(3-\sqrt6)}
{9-6}
\]
\[
=\frac{15-5\sqrt6+3\sqrt3-\sqrt{18}}{3}
\]
যিহেতু,
\[
\sqrt{18}=3\sqrt2
\]
সেয়ে,
\[
\boxed{\frac{15-5\sqrt6+3\sqrt3-3\sqrt2}{3}}
\]
(viii) \(\displaystyle\frac{2\sqrt3-3\sqrt2}{3\sqrt2+2\sqrt3}\)
Conjugate হৈছে \(3\sqrt2-2\sqrt3\)।
\[
\frac{2\sqrt3-3\sqrt2}{3\sqrt2+2\sqrt3}
\times
\frac{3\sqrt2-2\sqrt3}{3\sqrt2-2\sqrt3}
\]
হৰত,
\[
(3\sqrt2)^2-(2\sqrt3)^2
=18-12=6
\]
ওপৰত,
\[
(2\sqrt3-3\sqrt2)(3\sqrt2-2\sqrt3)
\]
\[
=12\sqrt6-12-18+6\sqrt6
\]
\[
=18\sqrt6-30
\]
গতিকে,
\[
\frac{18\sqrt6-30}{6}
=3\sqrt6-5
\]
উত্তৰ: \(\boxed{3\sqrt6-5}\)
(ix)
\[
\frac{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}
{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}
\]
হৰৰ conjugate ব্যৱহাৰ কৰোঁ।
\[
\frac{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}
{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}
\times
\frac{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}
{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}
\]
\[
=
\frac{(\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x})^2}
{(a+x)-(a-x)}
\]
\[
=
\frac{2a-2\sqrt{a^2-x^2}}{2x}
\]
\[
=
\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{x}
\]
উত্তৰ:
\[
\boxed{\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{x}}
\]
৬।
(i) যদি \(x=1+\sqrt2\), তেন্তে দেখুওৱা যে
\[
\left(x-\frac1x\right)^3=8
\]
দিয়া আছে,
\[
x=1+\sqrt2
\]
সেয়ে,
\[
\frac1x=\frac1{1+\sqrt2}
\]
হৰ পৰিমেয় কৰিলে,
\[
\frac1{1+\sqrt2}
\times
\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}
\]
\[
=\frac{\sqrt2-1}{2-1}
=\sqrt2-1
\]
গতিকে,
\[
x-\frac1x
=(1+\sqrt2)-(\sqrt2-1)
\]
\[
=2
\]
সেয়ে,
\[
\left(x-\frac1x\right)^3
=2^3
=8
\]
উত্তৰ: \(\boxed{8}\) — প্ৰমাণিত।
(ii) সৰল কৰা:
\[
\frac1{1+\sqrt2}
+
\frac1{\sqrt2+\sqrt3}
+
\frac1{\sqrt3+\sqrt4}
\]
প্ৰতিটো ভগ্নাংশৰ হৰ পৰিমেয় কৰোঁ।
\[
\frac1{1+\sqrt2}=\sqrt2-1
\]
\[
\frac1{\sqrt2+\sqrt3}=\sqrt3-\sqrt2
\]
\[
\frac1{\sqrt3+\sqrt4}=\sqrt4-\sqrt3
\]
গতিকে,
\[
=(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+(\sqrt4-\sqrt3)
\]
মাজৰ পদবোৰ বাতিল হ'ব।
\[
=-1+\sqrt4
\]
\[
=-1+2=1
\]
উত্তৰ: \(\boxed{1}\)
(iii) \(1.\overline{27}\) আৰু \(0.\overline{13}\) পৰিমেয় সংখ্যা দুটা যোগ কৰা।
\[
1.\overline{27}=1.272727\ldots
\]
আৰু
\[
0.\overline{13}=0.131313\ldots
\]
সেয়ে,
\[
1.272727\ldots+0.131313\ldots
\]
\[
=1.404040\ldots
\]
অৰ্থাৎ,
\[
=1.\overline{40}
\]
উত্তৰ: \(\boxed{1.\overline{40}}\)
৭। তলৰ উক্তিসমূহৰ কোনটো শুদ্ধ?
\(4+\sqrt5\) আৰু \(4-\sqrt5\) দুয়োটা অপৰিমেয় সংখ্যা। তেন্তে—
(P) \[ (4+\sqrt5)+(4-\sqrt5) \] পৰিমেয় সংখ্যা।
(Q) \[ (4+\sqrt5)\times(4-\sqrt5) \] পৰিমেয় সংখ্যা।
(P) \[ (4+\sqrt5)+(4-\sqrt5) \] পৰিমেয় সংখ্যা।
(Q) \[ (4+\sqrt5)\times(4-\sqrt5) \] পৰিমেয় সংখ্যা।
P পৰীক্ষা:
\[
P=(4+\sqrt5)+(4-\sqrt5)
\]
\[
=4+\sqrt5+4-\sqrt5
\]
\[
=8
\]
গতিকে \(P\) সত্য।
Q পৰীক্ষা: \[ Q=(4+\sqrt5)(4-\sqrt5) \] \[ =4^2-(\sqrt5)^2 \] \[ =16-5 \] \[ =11 \] গতিকে \(Q\)ও সত্য।
Q পৰীক্ষা: \[ Q=(4+\sqrt5)(4-\sqrt5) \] \[ =4^2-(\sqrt5)^2 \] \[ =16-5 \] \[ =11 \] গতিকে \(Q\)ও সত্য।
সঠিক উত্তৰ: (C)
\(P\) আৰু \(Q\) দুয়োটাই সত্য।
\(P\) আৰু \(Q\) দুয়োটাই সত্য।
⭐ চূড়ান্ত উত্তৰসমূহ
প্ৰশ্ন ১:
(i) অপৰিমেয় (ii) পৰিমেয় (iii) পৰিমেয় (iv) অপৰিমেয় (v) অপৰিমেয়
প্ৰশ্ন ২:
\[ \boxed{(i)\;6+3\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt6} \] \[ \boxed{(ii)\;6} \] \[ \boxed{(iii)\;7+2\sqrt{10}} \] \[ \boxed{(iv)\;3} \] \[ \boxed{(v)\;93-24\sqrt{15}} \] \[ \boxed{(vi)\;\sqrt{21}-7-6\sqrt3+6\sqrt7} \] \[ \boxed{(vii)\;14+6\sqrt6} \]প্ৰশ্ন ৩: \(\pi\) অপৰিমেয় সংখ্যা।
প্ৰশ্ন ৪: \(\boxed{\sqrt{9.3}\approx3.05}\)
প্ৰশ্ন ৫:
\[ \boxed{\frac{\sqrt7}{7},\quad \sqrt7+\sqrt6,\quad \frac{\sqrt5-\sqrt2}{3},\quad \frac{\sqrt7+2}{3}} \] \[ \boxed{\frac{13\sqrt5}{5},\quad \frac{41+12\sqrt5}{31},\quad \frac{15-5\sqrt6+3\sqrt3-3\sqrt2}{3}} \] \[ \boxed{3\sqrt6-5,\quad \frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{x}} \]প্ৰশ্ন ৬:
\[ \boxed{(i)\;8\qquad (ii)\;1\qquad (iii)\;1.\overline{40}} \]প্ৰশ্ন ৭: \(\boxed{(C)\;P\text{ আৰু }Q\text{ দুয়োটাই সত্য}}\)
নোট: ওপৰৰ গাণিতিক ৰাশিসমূহ MathJax ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা হৈছে, সেয়ে \(\sqrt{}\), ভগ্নাংশ, সূচক আদি সঠিকভাৱে mathematical format-ত প্ৰদৰ্শিত হ'ব।
.jpeg)
