Class 9 Maths Ex 2.1

অনুশীলনী 2.1 (Exercise 2.1)

প্ৰশ্ন 1: তলৰ কোনকেইটা ৰাশি এটা চলকযুক্ত বহুপদ আৰু কোনকেইটা নহয়? তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তি দিয়া।

(i) \(4x^2 - 3x + 7\)

উত্তৰ: ই এটা চলকযুক্ত বহুপদ।

যুক্তি: ৰাশিটোত কেৱল এটা চলক \(x\) আছে আৰু \(x\)-ৰ সূচকসমূহ \(2, 1, 0\) অঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা (whole numbers)।

(ii) \(y^2 + \sqrt{2}\)

উত্তৰ: ই এটা চলকযুক্ত বহুপদ।

যুক্তি: ৰাশিটোত কেৱল এটা চলক \(y\) আছে আৰু \(y\)-ৰ সূচক \(2\) এটা অঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।

(iii) \(3\sqrt{t} + t\sqrt{2}\)

উত্তৰ: ই এটা চলকযুক্ত বহুপদ নহয়।

যুক্তি: ৰাশিটোক

\[ 3t^{\frac{1}{2}} + t\sqrt{2} \]

হিচাপে লিখিব পাৰি। ইয়াত \(t\)-ৰ সূচক \(\frac{1}{2}\), যি অখণ্ড সংখ্যা নহয়।

(iv) \(y + \frac{2}{y}\)

উত্তৰ: ই এটা চলকযুক্ত বহুপদ নহয়।

যুক্তি: ৰাশিটোক

\[ y + 2y^{-1} \]

হিচাপে লিখিব পাৰি। ইয়াত \(y\)-ৰ সূচক \(-1\), যি অঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা নহয়।

(v) \(x^{10} + y^3 + z^{50}\)

উত্তৰ: ই এটা চলকযুক্ত বহুপদ নহয়।

যুক্তি: ইয়াত সূচকসমূহ অখণ্ড সংখ্যা যদিও ৰাশিটোত তিনিটা বেলেগ বেলেগ চলক \(x, y, z\) আছে। গতিকে ই এটা চলকযুক্ত বহুপদ নহয়। ই তিনিটা চলকযুক্ত বহুপদ।

প্ৰশ্ন 2: তলৰ প্ৰতিটোৰে \(x^2\)-ৰ সহগ লিখা।

(i) \(2 + x^2 + x\)

\(x^2\)-ৰ সৈতে গুণ হৈ থকা সংখ্যাটো হৈছে \(1\)।

উত্তৰ: \(x^2\)-ৰ সহগ \(= 1\)

(ii) \(2 - x^2 + x^3\)

\(x^2\)-ৰ পদটো হৈছে \(-x^2\), অৰ্থাৎ \(-1 \cdot x^2\)।

উত্তৰ: \(x^2\)-ৰ সহগ \(= -1\)

(iii) \(\frac{\pi}{2}x^2 + x\)

\(x^2\)-ৰ সৈতে গুণ হৈ থকা সংখ্যাটো হৈছে \(\frac{\pi}{2}\)।

উত্তৰ: \(x^2\)-ৰ সহগ \(= \frac{\pi}{2}\)

(iv) \(\sqrt{2}x - 1\)

এই ৰাশিটোত \(x^2\)-ৰ কোনো পদ নাই। ইয়াক

\[ 0\cdot x^2+\sqrt{2}x-1 \]

হিচাপে লিখিব পাৰি।

উত্তৰ: \(x^2\)-ৰ সহগ \(= 0\)

(v) \((2x - 3)(x^2 - 3x + 1)\)

প্ৰথমে ৰাশিটো পূৰণ কৰোঁ:

\[ (2x-3)(x^2-3x+1) \] \[ =2x^3-6x^2+2x-3x^2+9x-3 \] \[ =2x^3-9x^2+11x-3 \]

ইয়াত \(x^2\)-ৰ পদটো হৈছে \(-9x^2\)।

উত্তৰ: \(x^2\)-ৰ সহগ \(= -9\)

প্ৰশ্ন 3: 35 মাত্ৰাযুক্ত দ্বিপদ আৰু 100 মাত্ৰাযুক্ত একপদ লিখা।

35 মাত্ৰাযুক্ত দ্বিপদ (Binomial of degree 35):

\[ x^{35}+3 \]

অথবা,

\[ y^{35}-1 \]

100 মাত্ৰাযুক্ত একপদ (Monomial of degree 100):

\[ x^{100} \]

অথবা,

\[ 2y^{100} \]

প্ৰশ্ন 4: তলৰ বহুপদবোৰৰ মাত্ৰা নিৰ্ণয় কৰা।

নিয়ম: বহুপদ এটাৰ চলকৰ সৰ্বোচ্চ ঘাতটোৱেই হৈছে তাৰ মাত্ৰা।

(i) \(5x^3 + 4x^2 + 7x\)

চলক \(x\)-ৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত \(3\)।

উত্তৰ: মাত্ৰা \(= 3\)

(ii) \(4-y^2\)

চলক \(y\)-ৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত \(2\)।

উত্তৰ: মাত্ৰা \(= 2\)

(iii) \(5t-\sqrt{7}\)

চলক \(t\)-ৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত \(1\)।

উত্তৰ: মাত্ৰা \(= 1\)

(iv) \(3\)

ই এটা ধ্ৰুৱক বহুপদ।

\[ 3=3x^0 \]

উত্তৰ: মাত্ৰা \(= 0\)

প্ৰশ্ন 5: তলৰ বহুপদবোৰক মাত্ৰা অনুসৰি শ্ৰেণীবিভাজন কৰা।

(i) \(x^2+x\)

মাত্ৰা \(2\)। সেয়ে ই এটা দ্বিঘাত বহুপদ।

উত্তৰ: দ্বিঘাত বহুপদ (Quadratic Polynomial)

(ii) \(x-x^3\)

মাত্ৰা \(3\)। সেয়ে ই এটা ত্ৰিঘাত বহুপদ।

উত্তৰ: ত্ৰিঘাত বহুপদ (Cubic Polynomial)

(iii) \(y+y^2+4\)

মাত্ৰা \(2\)। সেয়ে ই এটা দ্বিঘাত বহুপদ।

উত্তৰ: দ্বিঘাত বহুপদ (Quadratic Polynomial)

(iv) \(1+x\)

মাত্ৰা \(1\)। সেয়ে ই এটা ৰৈখিক বহুপদ।

উত্তৰ: ৰৈখিক বহুপদ (Linear Polynomial)

প্ৰশ্ন 6: তলৰ উক্তিসমূহ সত্য নে অসত্য নিৰ্ণয় কৰা।

উক্তি 1: শূন্য বহুপদৰ মাত্ৰা সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়।

ব্যাখ্যা: শূন্য বহুপদৰ ক্ষেত্ৰত

\[ 0=0\cdot x^1=0\cdot x^2=0\cdot x^3=\cdots \]

গতিকে ইয়াৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত নিৰ্দিষ্ট নহয়। সেয়ে শূন্য বহুপদৰ মাত্ৰা সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়।

উক্তি 1 — সত্য।

উক্তি 2: অশূন্য ধ্ৰুৱক বহুপদটোৰ মাত্ৰা শূন্য।

যেনে, \(k\neq0\) হলে

\[ k=k\cdot x^0 \]

গতিকে অশূন্য ধ্ৰুৱক বহুপদৰ মাত্ৰা \(0\)।

উক্তি 2 — সত্য।

উত্তৰ: (a) উক্তি-1 আৰু উক্তি-2 দুয়োটাই সত্য।

প্ৰশ্ন 7: তলৰ কোনকেইটা ধ্ৰুৱক বহুপদ?

ধ্ৰুৱক বহুপদ হ'বলৈ বহুপদটোত কেৱল কোনো সংখ্যা থাকিব লাগে। ইয়াত চলক থাকিব নোৱাৰে।

• (i) \(5\) → ধ্ৰুৱক বহুপদ
• (ii) \(x\) → ৰৈখিক বহুপদ
• (iii) \(0\) → শূন্য বহুপদ
• (iv) \(5x\) → ৰৈখিক বহুপদ

উত্তৰ: (c) (i) আৰু (iii)

প্ৰশ্ন 8: Assertion–Reason

(A) শূন্য বহুপদৰ শূন্য:

যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা \(x\)-ৰ বাবে

\[ P(x)=0 \]

সত্য হয়।

সেয়ে A → R: যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা।

---

(B) \(\sqrt{2}\) বহুপদটোৰ মাত্ৰা:

\(\sqrt{2}\) এটা অশূন্য ধ্ৰুৱক সংখ্যা। ইয়াক

\[ \sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot x^0 \]

হিচাপে লিখিব পাৰি। গতিকে ইয়াৰ মাত্ৰা \(0\)।

সেয়ে B → P: শূন্য।

---

(C) শূন্য বহুপদটোৰ মাত্ৰা:

শূন্য বহুপদৰ মাত্ৰা সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়।

সেয়ে C → Q: সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়।

উত্তৰ: \[ \boxed{\text{(b) A}\rightarrow\text{R, B}\rightarrow\text{P, C}\rightarrow\text{Q}} \]

প্ৰশ্ন 9: সহগসমূহৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।

দিয়া আছে, বহুপদটোৰ সহগসমূহৰ যোগফল

\[ a_7+a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0 \]

উলিয়াবলৈ উভয় পক্ষত \(x=1\) বহুৱাই পাওঁ:

\[ P(1)=a_7+a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0 \]

গতিকে সহগসমূহৰ যোগফল:

\[ \boxed{128} \]

উত্তৰ: (b) 128